Minggu, 07 Oktober 2018

Sistem Bilangan Biner, Desimal, Oktal, Heksadesimal


Pengertian Sistem Bilangan
Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah bit, atau Binary Digit. Pengelompokan biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte/bita. Dalam istilah komputer, 1 Byte = 8 bit. Kode-kode rancang bangun komputer, seperti ASCII, American Standard Code for Information Interchange menggunakan sistem peng-kode-an 1 Byte. Sistem Bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis (base / radix) yang tertentu. Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 Jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu : Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16).
A.                Bilangan Biner
Bilangan biner merupakan bagian dari sistem bilangan basis 2, di mana bilangan-bilangan dibentuk hanya dengan menggunakan angka 0 dan 1. Tidak seperti bilangan desimal yang merupakan sistem bilangan berbasis 10, sistem bilangan biner berbasis 2. Sistem bilangan ini dirancang oleh Pingala. Sistem bilangan ini berfungsi sebagai dasar dari teknologi komputer modern. Bilangan biner digunakan untuk informasi biner dan juga satuan ukuran besarnya data. Bilangan biner digunakan sebagai satuan besar data dalam bentuk bit dan byte. 1 digit biner mewakili 1 bit, dan 8 digit biner mewakili 1 byte. Setiap digit pada bilangan biner mewakili pangkat dari angka 2 yang terus meningkat dari kanan ke kiri. Digit yang paling kanan mewakili 2 pangkat 0 (20). Digit selanjutnya mewakili 2 pangkat 1 (21), selanjutnya lagi mewakili 2 pangkat 2 (22), dan seterusnya. Bilangan desimal 0 diwakili dengan bilangan biner '0', begitu juga dengan bilangan desimal 1 diwakili dengan bilangan biner '1'. Kedua bilangan 1 dan 0 tersebut tidak berubah. Bilangan desimal 2 diwakili sebagai bilangan biner '10', 3 sebagai '11', 4 sebagai '100', 5 sebagai '101', dan seterusnya.
·                     Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Biner
Seperti halnya bilangan desimal, Pada bilangan biner kita juga dapat melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan. bahkan pada bilangan ini juga dapat dilakukan perkalian dan pembagian. Berikut ini adalah penjelasan singkat bagaimana proses penjumlahan dan pengurangan yang terjadi pada bilangan biner.
Penjumlahan Biner
Bilangan biner juga dapat dijumlahkan sebagaimana dapat kita lakukan untuk bilangan desimal, adapun aturan penjumlahan bilangan biner sebagai berikut:
    
    
       

Dalam melakukan penjumlahan biasanya kita selalu melibatkan penjumlahan dengan carry in.  Carry in adalah nilai carry out yang akan dijumlahkan pada penjumlahan bilangan berikutnya. Adapun pola penjumlahanya sama saja dengan pola penjumlahan bilangan desimal, hanya saja bedanya disini kita hanya punya nilai angka 0 dan 1. Adapun aturannya dapat dilihat pada pola rumus berikut:

atau seperti pola berikut:
   

Jadi kalau kita menjumlahkan dalam bilangan biner seperti 1 + 1 = 10 (angka biner untuk nilai 2).,maka yang dituliskan adalah 0 nya sedangkan 1 adalah carry out. Begitu juga jika kita menjumlahkan angka 1 + 1+ 1 = 11 (angka biner untuk nilai 3), maka yang kita tuliskan adalah 1 LSB nya sedangkan 1 MSB nya akan menjadi carry out.

0   +   0                       = 0
0   +   1                       = 1
1   +   0                       = 1
1   +   1                       = 10    (angka 2)
1   +   1   +   1             = 11    (angka 3)
1   +   1   +   1   +   1   = 100  (angka 4)  dst

Apabila dalam penjumlahan biner terdapat bawaan (carry), maka akan dijumlah dengan tingkatan di atasnya, lihat contoh berikut:
    

Pengurangan Biner

Pengurangan biner pada prinsipnya hampir sama dengan penjumlahan biner, jika pengurang lebih besar dari bilangan yang dikurangi maka perlu adanya pinjaman (borrow) pada bilangan disebelahnya.  Aturan dalam pengurangan bilangan biner dapat dilihat pada rumus berikut:

  

Sama halnya dengan penjumlahan yang melibatkan carry in, maka pada pengurangan biner kita juga akan melibatkan borrow in seperti terlihat pada rumus dan pola pengurangan berikut ini:


Berikut merupakan contoh pengurangan bilangan biner:



·                     Perkalian dan Pembagian Bilangan Biner

Sebagaimana halnya dengan Penjumlahan dan pengurangan, pada bilangan biner kita juga dapat melakukan proses perkalian dan pembagian. Proses perkalian dan pembagiannya hampir sama dengan proses perkalian dan pembagian pada bilangan desimal. Untuk dapat melakukan perkalian bilangan biner kita terlebih dahulu harus mengerti proses penjumlahan bilangan biner, karena dalam proses perkalian pasti akan melibatkan proses penjumlahan. Begitu juga dengan proses pembagian bilangan biner, kita harus terlebih dahulu mengerti proses pengurangan bilangan biner agar dapat melanjutkan proses pembagian. Berikut ini adalah cara melakukan perkalian dan pembagian pada bilangan biner.
Perkalian Bilangan Biner
  1. Pada perkalian biner pada dasarnya sama dengan perkalian desimal,bedanya hanya nilai yang dihasilkan hanya 0 dan 1. 
  2. Bergeser 1 ke kanan setiap dikalikan 1 bit pengali.
  3. Setelah proses perkalian masing-masing bit pengali selesai, lakukan penjumlahan masing-masing kolom bit hasil.

Pembagian Bilangan Biner
  1. Pembagian biner pada dasarnya sama dengan pembagian desimal, bedanya nilai yang dihasilkan hanya 0 dan 1.
  2. Bit-bit yang dibagi diambil bit per bit dari sebelah kiri. Apabila nilainya lebih dari bit pembagi, maka bagilah bit-bit tersebut. Jika setelah bergeser 1 bit nilainya masih dibawah bit pembagi, maka hasil bagi sama dengan 0.
B.       Bilangan Desimal
Sistem bilangan desimal/persepuluhan adalah sistem bilangan yang menggunakan 10 macam angka dari 0,1, sampai 9. Setelah angka 9, angka berikutnya adalah 1 0, 1 1, dan seterusnya (posisi di angka 9 diganti dengan angka 0, 1, 2, .. 9 lagi, tetapi angka di depannya dinaikkan menjadi 1). sistem bilangan desimal ditemukan oleh Al-Kashi,ilmuwan persia Sistem bilangan desimal sering dikenal sebagai sistem bilangan berbasis 10, karena tiap angka desimal menggunakan basis (radix) 10, seperti yang terlihat dalam contoh berikut:
angka desimal 123 = 1*102 + 2*101 + 3*100.

C.                 Bilangan Oktal
Oktal atau sistem bilangan basis 8 adalah sebuah sistem bilangan berbasis delapan. Simbol yang digunakan pada sistem ini adalah 0,1,2,3,4,5,6,7. Konversi Sistem Bilangan Oktal berasal dari Sistem bilangan biner yang dikelompokkan tiap tiga bit biner dari ujung paling kanan (LSB atau Least Significant Bit).
·         Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Oktal
Penjumlahan Bilangan Oktal
Jumlahkan secara berurutan mulai dari digit sebelah kanan. Untuk dua bilangan yang dijumlahkan, jika hasil penjumlahan lebih dari 7 maka akan terjadi carry 1 yang akan ikut dijumlahkan dengan digit di sebelah kirinya, kemudian hasil penjumlahan dikurangi 8 yang akan disimpan sebagai hasil penjumlahan Octal. Perhatikan contoh di bawah.
100(8) + 200(8) = ..........(8)
Langkah-langkah penyelesaian:
100
200
----- (+)
Jumlahkan secara berurutan mulai dari digit paling kanan.
0 + 0 = 0
0 + 0 = 0
1 + 2 = 3
Jadi 100(8) + 200(8) = 300(8)
4467(8) + 7265(8) = ...........(8)
Langkah-langkah penyelesaian:

4467
7265
------ (+)
1.            7 + 5 = 12, karena lebih dari 7 maka terjadi carry 1 dan hasil penjumlahan Octal adalah 4 (dari 12 - 8 = 4).
2.            1 + 6 + 6 = 13, karena lebih dari 7 maka terjadi carry 1 dan hasil penjumlahan Octal adalah 5 (dari 13 - 8 = 4).
3.           1 + 4 + 2 = 7, angka ini akan langsung ditempatkan sebagai hasil penjumlahan Octal karena tidak lebih dari 7 (tidak ada carry).
4.           4 + 7 = 11, karena lebih dari 7 maka terjadi carry 1 dan hasil penjumlahan Octal adalah 3 dari (11 - 8 = 3).
5.           1 = carry dari penjumlahan terakhir yang akan langsung ditempatkan sebagai hasil penjumlahan Octal Hasil akhir adalah yang berwarna merah, \
Jadi 4467(8) + 7265(8) = 13754(8).
Pengurangan Bilangan Oktal
Lakukan pengurangan secara berurutan mulai dari digit sebelah kanan. Jika bilangan yang dikurangi lebih besar, maha hasilnya akan langsung ditempatkan sebagai hasil pengurangan Oktal, tetapi jika bilangan yang dikurangi lebih kecil, maka akan terjadi borrow (pinjam) 1 dari digit di sebelah kirinya. Pada bilangan Desimal, angka satu yang dipinjam bernilai 10 sedangkan pada bilangan Oktal angka 1 ini bernilai 8. Perhatikan contoh di bawah.

7654(8) - 4321(8) = ..........(8)

Langkah-langkah penyelesainan:

7654
4321
----- (-)

4 - 1 = 3
5 - 2 = 3
6 - 3 = 3
7 - 4 = 3

Jadi 7654(8) - 4321(8) = 3333(8)

5432(8) - 1456(8) = ..........(8)

Langkah-lengkah penyelesaian

1.      2 - 6 = 4, karena 2 lebih kecil dari 6 maka terjadi borrow 1 sehingga menjadi 10 (dari 8+2) dan 10-6 = 4.
2.      2 - 5 = 5, angka 3 menjadi 2 karena sudah dipinjam sebelumnya. 5 adalah hasil dari (8+2)-5.
3.      3 - 4 = 7, angka 4 menjadi 3 karena sudah dipinjam sebelumnya. 7 adalah hasil dari (8+3)-4.
4.      4 - 1 = 3, angka 5 menjadi 4 karena sudah dipinjam sebelumnya. Karena 4 lebih besar dari 3 maka 3 akan langsung ditempatkan sebagai hasil pengurangan Octal. Hasil akhir adalah yang berwarna merah.

Jadi 5432(8) - 1456(8) = 3754(8)

·         Perkalian dan Pembagian Bilangan Oktal

Perkalian Bilangan Oktal

Cara pengkaliannya hampir sama dengan perkalian desimal, hanya saja setiap hasil perkalian jika lebih dari 7 maka harus melalui operasi modulus pembagian 8 terlebih dahulu, setelah itu lakukan penjumlahan oktal.
Contohnya:
Pembagian Bilangan Oktal

Untuk Pembagian Oktal terbilang cukup rumit. Caranya hampir sama dengan pembagian desimal hanya saja bilangan harus dibagikan secara oktal, yang artinya kita harus mengetahui hasil perkalian oktal dari pembaginya.
misalnya, 53 akan dibagikan dengan 6 dan kita coba dengan 6 x 7.
dalam desimal : 6 x 7 = 42
dalam oktal     : 6 x 7 = 52
maka: 53 dikurang 52, hasil dari 6 x 7 secara oktal.
Jika suatu pembagian memiliki sisa, maka akan menjadi remainder(sisa) yang dilambangkan R.

Contoh:

D.           Bilangan Heksa
Heksadesimal atau sistem bilangan basis 16 adalah sebuah sistem bilangan yang menggunakan 16 simbol. Berbeda dengan sistem bilangan desimal, simbol yang digunakan dari sistem ini adalah angka 0 sampai 9, ditambah dengan 6 simbol lainnya dengan menggunakan huruf A hingga F. Sistem bilangan ini digunakan untuk menampilkan nilai alamat memori dalam pemrograman komputer. Nilai desimal yang setara dengan setiap simbol tersebut diperlihatkan pada tabel berikut:













0hex
=
0dec
=
0oct
0
0
0
0

1hex
=
1dec
=
1oct
0
0
0
1

2hex
=
2dec
=
2oct
0
0
1
0

3hex
=
3dec
=
3oct
0
0
1
1













4hex
=
4dec
=
4oct
0
1
0
0

5hex
=
5dec
=
5oct
0
1
0
1

6hex
=
6dec
=
6oct
0
1
1
0

7hex
=
7dec
=
7oct
0
1
1
1













8hex
=
8dec
=
10oct
1
0
0
0

9hex
=
9dec
=
11oct
1
0
0
1

Ahex
=
10dec
=
12oct
1
0
1
0

Bhex
=
11dec
=
13oct
1
0
1
1













Chex
=
12dec
=
14oct
1
1
0
0

Dhex
=
13dec
=
15oct
1
1
0
1

Ehex
=
14dec
=
16oct
1
1
1
0

Fhex
=
15dec
=
17oct
1
1
1
1












·         Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Heksa

Penjumlahan Heksadesimal
Jumlahkan secara berurutan mulai dari digit paling kanan. Untuk dua bilangan yang dijumlahkan, jika hasil penjumlahan lebih dari 15 akan terjadi carry 1, kemudian hasil penjumlahan dikurangi 16 yang akan disimpan sebagai hasil penjumlahan Hexadecimal. Perhatikan contoh di bawah!
a.    153(16) + 234(16) = .......... (16)
Langkah-langkah penyelesaian:
153
234 ---- (+)
3 + 4 = 7
5 + 3 = 8
1 + 2 = 3
Karena tidak terdapat carry, maka 153(16) + 234(16) = 387(16)
b.    1A7(16) + D89(16) = .......... (16)
Langkah-langkah penyelesaian:
1A7
D89
---- (+)

·         7 + 9 = 16, karena lebih dari 15, maka terjadi carry 1 dan hasil penjumlahan adalah 0 yaitu dari 16-16.
·         1 + A + 8, angka 1 adalah carry dari penjumlahan sebelumnya. A=10 pada bilangan Decimal, jadi 1 + A + 8 = 1 + 10 + 8 = 19, hasil penjumlahan adalah 3 yatiu dari 19-16 dan carry 1.
·         1 + 5 + D = 1 + 1 + 13 = 15, hasil penjumlahan adalah F karena 15 = F pada bilanagan Hexadecimal.
Hasil penjumlahan adalah yang berwarna merah, jadi 1A7(16) + D89(16) = F30(16)
Pengurangan Bilangan Hexadesimal
Lakukan pengurangan secara berurutan mulai dari digit paling kanan. Jika bilangan yang dikurangi lebih kecil dari pengurang, maka akan terjadi borrow 1 (pinjam 1 ke bilangan di sebelah kirinya). Borrow 1 ini bernilai 16. Perhatikan contoh di bawah!
a.    FBC(16) - 321(16) = ..........(16)
Langkah-langkah penyelesaian:
FBC
3 2 1
----- (-)
·         C - 1 = 12 -1 = 11, hasil pengurangan adalah B
·         B - 2 = 11 - 2 = 9, hasil pengurangan adalah 9
·         F - 3 = 15 - 3 = 12, hasil pengurangan adalah C
Jadi FBC(16) - 321(16) = C9B(16)
b.    F30(16) - D89(16) = .......... (16)
Langkah-langkah penyelesaian:
F30
D89
----- (-)
·         0 - 9, karena 0 lebih kecil dari 9, maka terjadi borrow 1 yang bernilai 16 sehingga angka 0 kini menjadi 16 yaitu dari 0 + 16. Hasil pengurangan Hexadecimal adalah 16 - 9 = 7.
·         2 - 8, karena sebelumnya terjadi borrow 1, maka angka 3 dikurangi 1 menjadi 2. Karena 2 lebih kecil dari 8, maka terjadi borrow lagi pada bilangan F sehingga angka 2 menjadi 18 yaitu dari 2 + 16. Hasil pengurangan Hexadecimal adalah 18 - 8 = 10 atau A.
·         E - D = 14 - 13 = 1, E adalah dari F yang telah dikurangi 1 karena terjadi borrow sebelumnya.
Jadi F30(16) - D89(16) = 1A7(16) Untuk membuktikan kebenaran dari hasil penjumlahan dan pengurangan Hexadecimal, dapat dilakukan konversi bilangan terlebih dahulu ke bilangan Desimal.

·         Perkalian dan Pembagian Bilangan Heksa
Perkalian Pada bilangan Heksadesimal
Pada Perkalian Heksadesimal, caranya hampir sama dengan Pejumlahan.
hanya saja di lakukan operasi modulus pembagian 16 dan harus lebih teliti dikarenakan berbasis 16.
Contoh:

Pembagian Pada bilangan Heksadesimal

Dalam Pembagian Heksadesimal caranya hampir sama dengan pembagian desimal hanya saja bilangan harus dibagikan secara heksadesimal.
Untuk mempermudahkan pembagian, dibuat perkalian 1 sampai F dari angka yang akan membagikan.
Jika suatu pembagian memiliki sisa, maka akan menjadi remainder(sisa) yang dilambangkan R.
Contoh:



Sumber:
https://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_bilangan_biner
 http://mata-cyber.blogspot.com/2014/06/pengertian-sistem-bilangan-dan-macam-macam-sistem-bilangan-komputer.html
 https://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_bilangan_desimal
 http://chilodi.blogspot.com/2012/12/pengertian-bilangan-desimal-biner-oktal.html
 https://id.wikipedia.org/wiki/Oktal
 http://hendi-af.blogspot.com/2015/04/sistem-bilangan-heksadesimal.html
di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)